第 1 章概率論入門：定義與公理

Statistics - A subject which most statisticians find difficult but which many physicians are experts on.

Stephen S. Senn

The Probability lectures were orgainised and taught by Professor Elizabeth Williamson.

1.1 三個概率公理：

對於任意事件 \(A\)，它發生的概率 \(P(A)\) 滿足這樣的不等式： \(0 \leqslant P(A) \leqslant 1\)
\(P(\Omega)=1\) , \(\Omega\) 是全樣本空間 (total sample space)
對於互斥（相互獨立）的事件 \(A_1, A_2, \dots, A_n\) 有如下的等式關係： \(P(A_1\cup A_2 \cup \cdots \cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n)\)

你是不是覺得上面三條公理都是廢話。不用擔心，我也是這麼覺得的。因爲所有人都認同的道理，才能成爲公理 (axiom)，因爲它們是不需要證明的自然而然形成的人人都接受的觀念。(axiom: a saying that is widely accepted on its own merits; its truth is assumed to be self-evident)

然而，正是這樣顯而易見的道理，確是拿來建築理論的基石，千萬不能小看了他們。例如，我們看下面這個看似也應該成爲公理的公式，你能證明嗎：

\[ P(A_1\cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2) \]

證明：

先考慮 \(A_1 \cup A_2\) 是什麼（拆分成三個互斥事件）

\(A_1 \cup A_2 = (A_1\cap \bar{A_2})\cup(\bar{A_1}\cap A_2)\cup(A_1\cap A_2)\)

運用上面的公理2 3

\(\therefore P(A_1 \cup A_2) = P(A_1\cap \bar{A_2}) + P(\bar{A_1}\cap A_2) + P(A_1\cap A_2) \;\;\;\;\;\;(1)\)

再考慮 \(A_1=(A_1\cap A_2)\cup(A_1\cap\bar{A_2})\) 繼續拆分成兩個互斥事件

\(\therefore P(A_1)=P(A_1\cap A_2)+P(A_1\cap\bar{A_2})\) 整理一下：

\(P(A_1\cap\bar{A_2})=P(A_1)-P(A_1\cap A_2)\)

同理可得: \(P(\bar{A_1}\cap A_2)=P(A_2)-P(A_1\cap A_2)\)

代入上面第(1)式可得：

\[ \begin{aligned} P(A_1 \cup A_2) &= P(A_1)-P(A_1\cap A_2)\\ &\;\;+ P(A_2)-P(A_1\cap A_2)\\ &\;\;+P(A_1\cap A_2)\\ &=P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2) \end{aligned} \]

1.2 條件概率 Conditional probability

\(P(A|S)=\frac{P(A\cap S)}{P(S)}\)
\(P(A\cap S) = P(A|S)P(S)\)

1.3 獨立 (independence) 的定義

兩個事件定義爲互爲獨立時 (\(A\) and \(B\) are said to be independent if and only if) \[P(A\cap B)=P(A)P(B)\]
因爲從條件概率的概念我們已知
\(P(A\cap B) = P(A|B)P(B)\)
所以\(P(A|B)=P(A)\) 即：事件 \(B\) 無法提供事件 \(A\) 的任何有效訊息 (\(A, B\) 互相獨立)

1.4 賭博問題

終於來到本次話題的”重點”了。

假設你在一個電視遊戲節目。有上圖一樣的三扇門。其中一扇門後面有一輛保時捷，另兩扇門後面則是(味道奇特的)山羊。遊戲規則是主持人會讓你先選擇其中一扇門（先不打開你選的這扇門）。主持人隨後打開另外兩扇門中的一扇沒有保時捷的門。主持人問你，你要堅持選擇之前選中的那扇門，還是要改變主意換一扇門去猜是否可以猜中保時捷。請問，堅持選擇之前選中的門猜中保時捷的概率高，還是主持人打開一扇門以後改變主意猜中保時捷的概率更高呢？

1.5 賭博問題的答案

答案是：必須改變主意才能提高中獎概率。

上述情況下，最簡單的是用概率樹 (probability tree) 來做決定：

解說一下：

假定保時捷在1號門後，你第一次選擇了1號門，那麼此時主持人可以任意打開2號或者三號門（因爲他們後面都沒有保時捷）。
假定保時捷在1號門後，你第一次選了2號門，那麼此時主持人只能打開3號門（因爲一號門後是保時捷，按照遊戲規則主持人不能打開）。
假定保時捷在1號門後，你第一次選了3號門，那麼此時主持人只能打開2號門（因爲一號門後是保時捷，按照遊戲規則主持人不能打開）。

所以按照圖中給出的計算概率樹的過程可以得到:

\[P[\text{change}]=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\\ P[\text{not change}]=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\]

你是否選擇了改變主意了呢？

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