「統計解析のための線形代数」復習筆記 23

連立一次方程式: \(\begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} x_{11}a_1+x_{12}a_2+\cdots+x_{1n}a_n = y_1\\ x_{21}a_1+x_{22}a_2+\cdots+x_{2n}a_n = y_2\\ \cdots \\ x_{n1}a_1+x_{n2}a_2+\cdots+x_{nn}a_n = y_n \end{array} \right. \end{align}\)

可以看成是利用:

\(X=\left( \begin{array}{c} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn} \end{array} \right), \underline{a}=\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{array} \right), \underline{y}=\left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \\ \end{array} \right)\)

表達為: \(X\underline{a}=\underline{y}\)

其中 \(X\)係數矩陣 (coefficient matrix)。如果將 \(\underline{y}\) 加入 \(X\) 的最後一列,寫成下面的形式: \[(X \underline{y})=\left( \begin{array}{c} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} & y_1\\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n} & y_2\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots\\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn} & y_n \end{array} \right)\]

那麽這樣的矩陣 \((X \underline{y})\) 被稱作是擴大係數矩陣 (augmented coefficient matrix)

在多元變量分析時,通常出現的情況是, \(X\)\(\underline{y}\) 為已知 (觀測收集得來的數據),\(\underline{a}\) 為未知。

一般情況下, \(X\underline{a}=\underline{y}\) 的解答方法就是(1)使用逆矩陣,(2)克萊姆法則法,(3)行的基本變形法 三種手法。但是,前兩種手法只適用於 \(X\) 是正方形矩陣且同時是正則矩陣。另外, \((X \underline{y})\) 中間加上逗號的寫法 \((X,\underline{y})\) 也表達相同含義。

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