「統計解析のための線形代数」復習筆記21

行的基本變形

Theorem 1 (行的基本變形) 對矩陣進行下列操作的過程,被稱爲是行的基本變形(行的基本操作, elementary row operations)。

  1. 給任意一行乘以/除以一個非零的數。
  2. 給任意一行加上/減去另外任意行的倍數。
  3. 將任意兩行的對應元素互換。

練習基本變形:


用行的基本變形求矩陣 \(X=\left(\begin{array}{c} 1& 2& 1\\ 2& 1& 1\\ 1& 1& 2\\ \end{array}\right)\) 的逆矩陣 \(X^{-1}\)


首先,將矩陣 \(X\) 和同次單位矩陣 \(E_3\) 的元素寫成如下的左右並列的形式(用點隔開)\((X, E)\)。數字 (1) (2) (3) 表示行數:

\[\left(\begin{array}{c} 1& 2& 1 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 2& 1& 1 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 1& 1& 2 & \vdots & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \begin{align} \left\{ \begin{array}{rr} (1)\\ (2)\\ (3) \end{array} \right. \end{align}\]

可以變形成爲下面的形式:

\[\left(\begin{array}{c} 1& 2& 1 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0& -3& -1 & \vdots & -2 & 1 & 0\\ 0& -1& 1 & \vdots & -1 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \begin{align} \left\{ \begin{array}{l} (1)\\ (2)=(2)-2\times(1)\\ (3)=(3)-(1) \end{array} \right. \end{align}\]

繼續變形成如下的形式:

\[\left(\begin{array}{c} 1& 0& 3 & \vdots & -1 & 0 & 2\\ 0& -4& 0 & \vdots & -3 & 1 & 1\\ 0& 1& -1 & \vdots & 1 & 0 & -1\\ \end{array}\right) \begin{align} \left\{ \begin{array}{l} (1)=(1)+2\times(3)\\ (2)=(2)+(3)\\ (3)=-1\times(3) \end{array} \right. \end{align}\]

Next:

\[\left(\begin{array}{c} 1& 0& 3 & \vdots & -1 & 0 & 2\\ 0& 1& 0 & \vdots & 3/4 & -1/4 & -1/4\\ 0& 1& -1 & \vdots & 1 & 0 & -1\\ \end{array}\right) \begin{align} \left\{ \begin{array}{l} (1)=(1)\\ (2)=(2)\div(-4)\\ (3)=(3) \end{array} \right. \end{align}\]

Next:

\[\left(\begin{array}{c} 1& 0& 3 & \vdots & -1 & 0 & 2\\ 0& 1& 0 & \vdots & 3/4 & -1/4 & -1/4\\ 0& 0& -1 & \vdots & 1/4 & 1/4 & -3/4\\ \end{array}\right) \begin{align} \left\{ \begin{array}{l} (1)=(1)\\ (2)=(2)\\ (3)=(3)-(2) \end{array} \right. \end{align}\]

Next:

\[\left(\begin{array}{c} 1& 0& 0 & \vdots & -1/4 & 3/4 & -1/4\\ 0& 1& 0 & \vdots & 3/4 & -1/4 & -1/4\\ 0& 0& 1 & \vdots & -1/4 & -1/4 & -3/4\\ \end{array}\right) \begin{align} \left\{ \begin{array}{l} (1)=(1)+3\times(3)\\ (2)=(2)\\ (3)=-1\times(3) \end{array} \right. \end{align}\]

點 “\(\vdots\)” 的左側變形成爲單位矩陣時,行變形結束。右側便是所求的逆矩陣 \(X^{-1}\)

\[X^{-1}=\left(\begin{array}{c} -1/4 & 3/4 & -1/4\\ 3/4 & -1/4 & -1/4\\ -1/4 & -1/4 & 3/4\\ \end{array}\right)\]


Q: 如果有行的基本變形,請問有沒有列的基本變形 (elementary column operations)?

A: 有。把行的基本變形中的定義 (1) 的行改成列,既是列的基本變形的定義。


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