「統計解析のための線形代数」復習筆記19

行列式的性質

具體的行列式的值,可以通過以下介紹的行列式性質,儘量簡潔地求解。本節也是爲了簡易示範,僅僅使用3次行列式作例子。4次以上的行列式性質依然相同,依此類推即可。

  1. 轉置矩陣的行列式,與轉置前的行列式一致。即:\(|A^t|=|A|\)
    \(|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix}\)
  2. 任意一列(或者任意一行)若乘以 \(\lambda\) 倍,那麼這個矩陣的行列式結果也將是乘以 \(\lambda\) 倍。
    \(|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ \lambda a_{21} &\lambda a_{22} & \lambda a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\\ \;\;\;\;=|A|=\lambda \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\)
    \(|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \lambda a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & \lambda a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & \lambda a_{33}\\ \end{vmatrix}\\ \;\;\;\;=|A|=\lambda \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\)
  3. 任意一列(或者任意一行)的各成分乘以 \(\lambda\) 倍,與其他任意一列(或者任意一行)的各成分進行加運算(或者減運算)獲得的矩陣的行列式與原矩陣的行列式相同。
    \(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21}\pm \lambda a_{11} & a_{22}\pm \lambda a_{12} & a_{23}\pm \lambda a_{13}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix},\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\pm \lambda a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22}\pm \lambda a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32}\pm \lambda a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix},\)
    \(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} \pm \frac{a_{11}}{\lambda} & a_{22}\pm \frac{a_{12}}{\lambda} & a_{23}\pm \frac{a_{13}}{\lambda}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}, \\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\pm \frac{a_{11}}{\lambda} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22}\pm \frac{a_{21}}{\lambda} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32}\pm \frac{a_{31}}{\lambda} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\)
    上述行列式與行列式 \(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\) 結果相同。

  4. 符合下列條件時,行列式的值爲 \(0\)
    • 任意一行(或者列)的全部成分均爲 \(0\) 時。
    • 矩陣中若有兩行(或者兩列)的對應成分全部相同時。
    • 矩陣中若有兩行(或者兩列)的對應成分均成一定比例時。
      \(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 0\\ \end{vmatrix}=0\\ \begin{vmatrix} a & b & c\\ a & b & c\\ d & e & f\\ \end{vmatrix}=0\\ \begin{vmatrix} a & b & c\\ ka & kb & kc\\ d & e & f\\ \end{vmatrix}=0\)
      由於上面的後兩條成立,所以當矩陣中任意兩列(或者兩行)的對應成分幾乎相等,或者比值無限接近時,行列式的值也可以說就接近爲 \(0\)。此性質與多重線性迴歸的多重共線性有直接關係。
  5. 一個矩陣中其中兩列(或者兩行)的成分交換以後獲得的矩陣,其行列式值爲原矩陣的行列式的值的相反數。(即符號相反)
    \(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\) (第一行和第二行對調成分)
  6. 對角矩陣,上三角矩陣,下三角矩陣的行列式的值,等於對角成分的積
    \(\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0\\ 0 & a_{22} & 0\\ 0 & 0 & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33},\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33},\\ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}\)
  7. 矩陣中如果有任意一行(或列),衹有一個成分為非零成分,可以將該矩陣的行列式降次:
    \(\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\)

    \(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & 0\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & 0\\ \end{vmatrix}=a_{23}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\)

  8. \(A, B\) 同時都是正方形矩陣時,\(|AB|=|A|·|B|\)


證明

\(A=\left(\begin{array}{c} 0 & 4 & 2\\ -1 & 3 & 7\\ 6 & 5 & 9\\ \end{array}\right)\)\(B=\left(\begin{array}{c} 2 & 3 & 4\\ -2 & 7 & 1\\ 4 & 6 & 0\\ \end{array}\right)\) 時, \(|AB|=|A|·|B|\) 成立


\(\because AB=\left(\begin{array}{c} 0 & 40 & 4\\ 20 & 60 & -1\\ 38 & 107 & 29\\ \end{array}\right)\)
\(\therefore |AB|=\begin{vmatrix} 0 & 40 & 4\\ 20 & 60 & -1\\ 38 & 107 & 29\\ \end{vmatrix}\)
利用性質3: 第2列 - 第3列 \(\times\) 10 作新的第2列
\(=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 4\\ 20 & 70 & -1\\ 38 & -183 & 29\\ \end{vmatrix}\)
利用性質7: 第一行衹有第三個元素非零,可以降次。
\(=4(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 20 & 70 \\ 38 & -183\end{vmatrix}\)
利用性質2: 第一行所有元素除以10, 將 10 提前。
\(=4\times10\begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 38 & -183\end{vmatrix}\\ =40(-366-266)\\=-25280\)

\(|A|=\begin{vmatrix} 0 & 4 & 2\\ -1 & 3 & 7\\ 6 & 5 & 9\\ \end{vmatrix}\)
利用性質3: 第2列 - 第3列 \(\times\) 2 作爲新的第二列元素
\(=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 2\\ -1 & -11 & 7\\ 6 & -13 & 9\\ \end{vmatrix}\)
利用性質7: 第一行衹有第三個元素非零,降次。
\(=2(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} -1 & -11 \\ 6 & -13\end{vmatrix}\\=2(13+66)=158\)

\(|B|=\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4\\ -2 & 7 & 1\\ 4 & 6 & 0\\ \end{vmatrix}\)
利用性質3: 第1行 \(+\) 第2行作新的第1行; 第3行 - 第1行 \(\times\) 2 作新的第三行
\(=\begin{vmatrix} 0 & 10 & 5\\ -2 & 7 & 1\\ 0 & 0 & -8\\ \end{vmatrix}\)
利用性質7: 第三行衹有第三個元素非零,降次。
\(=-8(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 0 & 10 \\ -2 & 7\end{vmatrix}\\=-8\times20=-160\)

綜上可得

\(|A|·|B|=158\times(-160)=-25280=|AB|\)


試用這一節介紹的行列式性質,求解前一節例(3)的行列式值。


\(\begin{vmatrix} -2 & 3 &4 & 1\\ 4 & 2& 0& 5\\ 2 &-3& -4& 2\\ 2 & 1& 2& -3 \end{vmatrix}\)
利用性質3
1. 第1行 \(+\) 第3行,作新的第一行; 2. 第2行 \(-\) 第3行 \(\times\) 2,作新的第2行; 3. 第4行 \(-\) 第3行 作新的第4行

\(=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 8 & 8 & 1\\ 2 & -3 & -4 & 2\\ 0 & 4 & 6 & -5 \end{vmatrix}\)
利用性質7: 第1行衹有第4個元素非零,降次。
\(=3(-1)^{1+4}\begin{vmatrix} 0 & 8 & 8 \\ 2 & -3 & -4 \\ 0 & 4 & 6 \end{vmatrix}\)
利用性質7: 第1列衹有第2個元素非零,降次。
\(=-3 \times 2(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 8 & 8 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}\\ =6 \times (8 \times 6 - 4\times 8)\\ =96\)

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