「統計解析のための線形代数」復習筆記20

逆矩陣

逆矩陣定義

Theorem 1 如果對於正方形矩陣 \(A\),存在一個正方形矩陣 \(X\) 滿足 \(AX=XA=E\) (\(E\) 爲單位矩陣) 時,這個正方形矩陣 \(X\) 被叫做 \(A\)逆矩陣,寫作 \(A^{-1}\)
存在逆矩陣 \((A^{-1})\)\(A\) ,被叫做正則矩陣 (regular matrix, nonsingular matrix)。
不存在逆矩陣的 \(A\),被叫做奇異矩陣 (singular matrix)。
滿足 \(|A|\neq 0\) 的矩陣 \(A\) 被叫做正則矩陣。滿足 \(|A|=0\) 的矩陣 \(A\) 被叫做奇異矩陣。
\(A\) 爲正則矩陣時,滿足:\(A^{-1}A=AA^{-1}=E\)
顯然,單位矩陣的逆矩陣也是一個單位矩陣:
\[E^{-1}E=EE^{-1}=E, E^{-1}=E\]

逆矩陣的性質

對於正則矩陣 \(A, B\) 有以下性質:

  1. \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
    注意此處矩陣 \(A,B\) 的順序對調了。
  2. \((A^{-1})^{-1}=A\)
  3. \((A^{t})^{-1}=(A^{-1})^t\)
  4. \((\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1} (\lambda \ne 0)\)
  5. 對角矩陣 \(D_n=diag(a_{11},a_{22},\dotsm,a_{nn})\) 的逆矩陣寫作: \(D_n^{-1}=diag(1/a_{11}, 1/a_{22},\dotsm,1/a_{nn})\)
    注意此處的條件爲所有對角成分均非零: \(a_{11}a_{22}\dotsm a_{nn}\neq 0\)

證明

  1. \((AB)(AB)^{-1}=E\)
    等式兩邊從左往右乘以 \(A^{-1}\)
    \((A^{-1}A)B(AB)^{-1}=A^{-1}E\\ B(AB)^{-1}=A^{-1}\)
    等式兩邊從左往右乘以 \(B^{-1}\)
    \((B^{-1}B)(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\\ E(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
    根據單位矩陣的性質:
    \(\therefore (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)

  2. \(E=E^{-1}=(A^{-1}A)^{-1}=A^{-1}(A^{-1})^{-1}\)
    等式兩邊從左往右乘以 \(A\)
    \(AE=AA^{-1}(A^{-1})^{-1}\\ \therefore A=(A^{-1})^{-1}\)

  3. \(E=E^t=(A^{-1}A)^t=A^t(A^{-1})^t\)
    等式兩邊從左往右乘以 \((A^t)^{-1}\)
    \((A^t)^{-1}E=(A^t)^{-1}A^t(A^{-1})^t\\ \therefore (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\)

Related

comments powered by Disqus