Rstan Wonderful R-(1)

P16

事後分布 \(p(\theta | Y)\)の値が最大になる点\(\theta^*\)を事後確率最大推定値 (maximum a posteriori estimate)と呼ぶ．略してMAP推定値 (MAP estimate)．

我們把能夠將事後概率分布取極大值的參數點 \(\theta^*\) 稱爲事後概率的最大似然估計值 (maximum a posteriori estimate)，簡稱 MAP估計值 (MAP estimate)。

P19

統計建模的一般順序

• 確定分析目的
• 確定數據分布
• 想象數據產生本身的機制：思考數據與數據之間可能的關系
• 寫下你所認爲的數據模型的數學表達式
• 用 R 模擬(simulation)並確認前一步寫下的數學模型的性質，特點
• 用 Stan 實際進行模型參數的推斷
• 獲得推斷結果，解釋其事後概率分布的意義，繪制易於理解的模型示意圖
• 繪制成功之後的模型示意圖和最先使用的模型之間進行比對，重新查缺補漏

P23

ただいたずらにモデルを複雑化させるのは解釈のしにくさを招く．

P30

最初にmodel ブロックの尤度の部分（と事前分布の部分）を書く．その尤度の部分に登場した変数のうち，データの変数をdataブロックに，残りの変数をparametersブロックに書いていく．

Stan的基本文法構成

data {
 數據描述
}

parameters {
 想要進行MCMC事後樣本採集的參數描述
}

model {
 p(Y|theta) 似然的描述
 先驗概率分布 p(theta) 的描述
}

把下面的模型

\[ \begin{aligned} Y[n] & \sim \text{Normal}(\mu, 1) \;\; n = 1, \dots, N \\ \mu & \sim \text{Normal}(0, 100) \end{aligned} \]

翻譯成爲 Stan 模型語言是：

data {
  int N;
  real Y[N];
}

parameters {
  real mu;
}

model {
  for (n in 1:N) {
    Y[n] ~ normal(mu, 1);
  }
  mu ~ normal(0, 100);
}

其中我們按照實際模型書寫的順序 model -> data -> parameter 來逐個解釋：

• model 模塊中 for (n in 1:N) 開始的循環部分（三行）對應數學模型的 $Y[n] (, 1) n = 1, , N $　部分。
• Stan 語言中，每一行描述的結尾需要用分號 ; 來結束。
• mu ~ normal(0,100) 則對應數學模型中寫的先驗概率 \(\mu \sim \text{Normal}(0, 100)\) 部分。這裏給均值的先驗概率分佈是一個方差很大的無信息先驗概率分佈 (noninformative prior)。事實上在 Stan 軟件語言中，如果不特別指出先驗概率分佈，系統會默認給參數以無信息的先驗概率分佈，這樣即使沒有這一行，模型也是可以跑的。
• data 模塊中寫明的是 model 模塊中描述的模型將要使用的數據。它包括宣示數據的個數（樣本量 \(N\)），以及數據本身。其中 int N 意爲樣本量的數量是整數個 (integer)，real Y[N] 則宣示實數有 N 個作爲數據。
• parameter 模塊是告訴軟件需要採樣且關注的未知參數 (parameter) 是 mu
• 在 Stan 語言中，還可以和其他語言一樣爲模型加註解釋的文字，只需要在想要做註釋的文字最開始的部分增加 //，如果註釋的文字超過一行，那麼在註釋的模塊前後加上 /* 和 */ 即可。
• 另外，目前爲止主流的貝葉斯模型軟件中使用精確度 (precision) ，也就是方差的倒數來描述正態分佈 normal(mean, 1/variance) ，但是在Stan的語法中使用的是 normal(mean, sd)，也就是用標準差來描述正態分佈。

寫Stan（或者說寫大多數的代碼）時，請遵守以下的原則：

1. 適當縮進，以便於閱讀；
2. 表示數據的部分用大寫字母，表示參數的部分，用小寫字母；
3. 每個部分之間至少使用一個空行加以區分；
4. 請不要用camelCase這樣的方式（單詞之間用大寫隔開），請在單詞之間用下劃線 camel_case 的標記方法；
5. ~或者=前後用一個字符大小的空格來隔開。

最低限度的話，也請依照1,2兩個標準來書寫你的Stan代碼。不爲他人，也爲自己將來再讀代碼時能快速理解其涵義。往Stan的官方論壇投稿時，也必須遵守它們在手冊裏提供的 “Stan Program Style Guide” 代碼書寫規則，也是對其他寫，讀代碼的人的尊重。