「統計解析のための線形代数」復習筆記13

連立一次方程式與矩陣向量的積

連立一次方程式可以改寫爲矩陣與向量的積形成的向量的形式。特別的，以連立方程式的系數作成分的矩陣被叫做系數矩陣(coefficient matrix)。當我們看到連立方程式，應該能立刻條件反射地聯想到其對應的矩陣和向量的積。

1. \(\begin{align} \left\{ \begin{array}{rr} a_1+2a_2+3a_3 = 3\\ 2a_1+4a_2+5a_3 = 5\\ 3a_1+5a_2+6a_3 = 7 \end{array} \right. \end{align}\) 可以改寫成 \(\left( \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 3\\ 5\\ 7 \end{array} \right)\) 的形式。
   如果把等號右邊的列向量寫到系數矩陣的右側，形成的矩陣被叫做擴大系數矩陣(augmented coefficient)：
   \(\left( \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 5 & 5 \\ 3 & 5 & 6 & 7 \end{array} \right)\)

2. \(\begin{align} \left\{ \begin{array}{rr} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0\\ \end{array} \right. \end{align}\) 可以改寫成 \(\left( \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array} \right)\)

3. \(\begin{align} \left\{ \begin{array}{rr} (5-\lambda)x_1+ x_2+ x_3 = 0\\ x_1+(3-\lambda)x_2+ x_3 = 0\\ x_1+ x_2+(3-\lambda)x_3 = 0 \end{array} \right. \end{align}\) 可以改寫爲 \(\left( \begin{array}{c} 5-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 3-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 3-\lambda \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right)\)

矩形矩陣

列數行數不相等的矩陣，被稱爲矩形矩陣(rectangular matrix)。特別的行數 \(>\) 列數的矩陣被叫做垂直型矩形矩陣。行數 \(<\) 列數的矩陣被叫做水平型矩形矩陣。多元變量分析時，數據常常被加工稱爲垂直型矩形矩陣的形式。

• 5人的體重和身高數據被表示爲上面的表格：
  如果只提取出表格中的數字寫成垂直型矩形矩陣： \(\left( \begin{array}{c} 53 & 157 \\ 67 & 172 \\ 49 & 163 \\ 80 & 178 \\ 74 & 181 \\ \end{array} \right)\)

正方形矩陣

行數和列數相等的矩陣被稱爲正方形矩陣(sqare matrix)。一個正方形的矩陣如果類型爲 \((n,n)\)，又被叫做是 \(n\) 次正方矩陣或者 \(n\) 次矩陣。

\[A_{n\times n}= \left( \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right)\]

從左上角往右下角方向劃一條對角線，這條對角線的名稱爲主對角線(main diagonal)。主對角線上有的成分 \(a_{11},a_{22},\cdots, a_{nn}\)，被叫做對角成分(diagonal element)。其餘的成分被叫做非對角成分(off-diagonal element)。對角成分的和被叫做是該矩陣的跡(trace/spur)，寫作 \(tr(A)=\sum\limits_{i=1}^na_{ii}\) 。 \(A=\left( \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right)\) 是 \(3\) 次正方形矩陣， \(tr(A)=1+5+9=15\)

矩陣轉置

\((m,n)\) 型矩陣 \(A_{m\times n}=(a_{ij})\) 的行與列互相對調，被叫做轉置(transpose)，形成的新 \((n,m)\) 型矩陣，被叫做 \(A\) 的轉置矩陣 (transposed matrix) ： \((a_{ji})\) 有多種標記方式：\(A^t, A^\prime, A^T, ^TA\) 等，我們今後統一使用 \(A^t\)。轉置矩陣具有如下的性質：

1. \((A^t)^t=A\)
2. \((AB)^t=B^tA^t\) 注意： 不是\(A^tB^t\)
3. \((A+B)^t=A^t+B^t\)
4. \((kA)^t=kA^t\) (\(k\)爲標量 scalar)