「統計解析のための線形代数」復習筆記8
向量 vector
列向量 column vector
在等號的右側，將數字寫成一列，左右用圓括號或者方括號包含在內的形式，被叫做列向量(column vector)：
\(\underline{a}=\left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_i\\ \vdots\\ a_n \end{array} \right), \;\; \textbf{a}=\left[ \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_i\\ \vdots\\ a_n \end{array} \right]\)
我們接下來將會繼續定義，向量的加減法，標量乘法(scalar multiplication)。把上述的向量用一個文字表示的時候，通常會記爲下劃線 \(\underline{a}\)，或者是加粗的小寫字母： \(\bf{a}\)。
構成向量的各個數字，被命名爲成分(component, element, entry)，從上往下第 \(i\) 個成分稱爲第 \(i\) 成分。
成分的個數爲 \(n\)，就被稱爲這個向量具有 \(n\) 個維度(次元，dimension)，或者說這個向量的維度爲 \(n\)。成分可以是數字，也可以是函數，或者式子。如果兩個列向量的維度一致，我們稱這兩個列向量的型(size, order),或者 類型(type) 一致。
成分只有一個的向量，被特別稱爲標量(scalar)，原則上不加括號。
將向量成分全部羅列出來，寫成上面的形式的過程，被稱爲成分表示。在多元變量分析中，我們說到向量，多默認指的就是列向量。
\(\underline{b}=\left( \begin{array}{c} 16\\ 59\\ 80\\ \end{array} \right)=\left[ \begin{array}{c} 16\\ 59\\ 80\\ \end{array} \right]=\textbf{b}\)
今後我們都用字母帶下劃線，圓括號包含數字的方式表示向量。\(\underline{c}=\left( \begin{array}{c} \sin t+\cos t\\ \cos t+\tan t-2\\ \tan t + \sin t\\ \end{array} \right)\)
當 \(F\) 爲 \(a_1,a_2,a_3\) 的函數時，寫作 \(F(a_1,a_2,a_3)\)。 以三個未知數的偏微分爲成分的向量(梯度向量，gradient vector)，寫成下面等式左邊的形式。可以簡略寫作: \(\underline{a}=\left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{array} \right)\)。\(\nabla\)讀作
nabla。
\(\left( \begin{array}{c} \frac{\partial F}{\partial a_1}\\ \frac{\partial F}{\partial a_2}\\ \frac{\partial F}{\partial a_3}\\ \end{array} \right)=\frac{\partial F}{\partial \underline{a}}=\nabla_{\underline{a}}F\)
橫向量(行向量) row vector
在等號的右側，將數字寫成一行，左右用圓括號或者方括號包含在內的形式，被叫做橫向量(row vector):
\(\underline{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_j,\cdots,a_n), \; \textbf{a}=[a_1,a_2,\cdots,a_j,\cdots,a_n]\)
成分，維度，類型等的定義與列向量相同。另外注意，維度相同，但是一個是橫向量，一個是列向量的話，這兩個向量是不同類型的。
- \(\underline{x}=(x_1,x_2,x_3)\)
有時也可以不用逗號分隔成分。 寫作 \((x_1 \; x_2 \;x_3)\)。下同。 - \((\frac{\partial F}{\partial x_1},\frac{\partial F}{\partial x_2},\frac{\partial F}{\partial x_3})=\frac{\partial F}{\partial \underline{x}}=\nabla_{\underline{x}F}\)
- \(\underline{u}=(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\cos\theta, \cos\theta)\)
向量的轉置 (vector transpose)
將列向量的每個成分，按照從上到下的順序，一字橫着排開寫成橫向量。這個向量稱爲原來列向量的轉置向量(transposed vector)。反之亦然。
向量 \(\underline{a}\) 的轉置向量，可以標記爲 \(\underline{a}^t,\;\underline{a}^\prime,\;^t\underline{a},\;\underline{a}^T, \;^T\underline{a}\) 各種形式。今後統一用 \(\underline{a}^t\)。
- \(\underline{a}=\left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{array} \right)\) 的轉置向量我們會記爲：
\(\underline{a}^t=\left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{array} \right)^t=(a_1,a_2,a_3)\) - \(\underline{x}=(x_1.x_2,x_3)\) 的轉置向量我們會記爲：
\(\underline{x}^t=(x_1.x_2,x_3)^t=\left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{array} \right)\)
