“你會用概率論來賭博嗎?”之解答

前情提要:

假設你在一個電視遊戲節目。有上圖一樣的三扇門。其中一扇門後面有一輛保時捷,另兩扇門後面則是(味道奇特的)山羊。遊戲規則是主持人會讓你先選擇其中一扇門(先不打開你選的這扇門)。主持人隨後打開另外兩扇門中的一扇沒有保時捷的門。主持人問你,你要堅持選擇之前選中的那扇門,還是要改變主意換一扇門去猜是否可以猜中保時捷。 請問,堅持選擇之前選中的門猜中保時捷的概率高,還是主持人打開一扇門以後改變主意猜中保時捷的概率更高呢?

答案是:必須改變主意才能提高中獎概率。

上述情況下,最簡單的是用概率樹 (probability tree) 來做決定:

解說一下:

  • 假定保時捷在1號門後,你第一次選擇了1號門,那麼此時主持人可以任意打開2號或者三號門(因爲他們後面都沒有保時捷)。
  • 假定保時捷在1號門後,你第一次選了2號門,那麼此時主持人只能打開3號門(因爲一號門後是保時捷,按照遊戲規則主持人不能打開)。
  • 假定保時捷在1號門後,你第一次選了3號門,那麼此時主持人只能打開2號門(因爲一號門後是保時捷,按照遊戲規則主持人不能打開)。

所以按照圖中給出的計算概率樹的過程可以得到:

\[P[改變主意以後贏得保時捷的概率]\\=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\\ P[不改主意,贏得保時捷的概率]\\=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\]

你是否選擇了改變主意了呢?

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