「統計解析のための線形代数」復習筆記 25
克萊姆法則 Cramer’s Formula
當 \(X\) 爲正則矩陣（\(|X|\neq0\)）時 連立一次方程式：\(X\underline{a}=\underline{y}\) 的解可以寫作：
\[a_j=\frac{|X_j|}{|X|} (j=1,2,\cdots, n)\]
其中： \(|X_j|\) 爲矩陣 \(X\) 的第 \(j\) 列替換爲 \(\underline{y}\) 以後的矩陣的行列式。
練習 解下列連立一次方程式
\[\begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} a_1+2a_2+a_3 = 2\\ 2a_1+a_2+a_3 = 3\\ a_1+a_2+2a_3 = 3 \end{array} \right. \end{align}\]
解
\[X=\left( \begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right), \underline{a}=\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right), \underline{y}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 3 \\ \end{array} \right)\]
其中 \(|X|=-4\) (三次行列式的計算)
\(X\) 的第一列置換成 \(\underline{y}\) 則: \[|X_1|=\begin{vmatrix} 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 1\\ 3 & 1 & 2\\ \end{vmatrix}=-4\]
\(X\) 的第二列置換成 \(\underline{y}\) 則:
\[|X_2|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 1\\ 1 & 3 & 2\\ \end{vmatrix}=0\]
\(X\) 的第三列置換成 \(\underline{y}\) 則:
\[|X_3|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2\\ 2 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 3\\ \end{vmatrix}=-4\]
\[\therefore a_1=\frac{|X_1|}{|X|}=1, \\ a_2=\frac{|X_2|}{|X|}=0, \\ a_3=\frac{|X_3|}{|X|}=1\]
