「統計解析のための線形代数」復習筆記20
逆矩陣
逆矩陣定義
Theorem 1 如果對於正方形矩陣 \(A\)，存在一個正方形矩陣 \(X\) 滿足 \(AX=XA=E\) (\(E\) 爲單位矩陣) 時，這個正方形矩陣 \(X\) 被叫做 \(A\) 的逆矩陣，寫作 \(A^{-1}\)。
存在逆矩陣 \((A^{-1})\) 的 \(A\) ，被叫做正則矩陣 (regular matrix, nonsingular matrix)。
不存在逆矩陣的 \(A\)，被叫做奇異矩陣 (singular matrix)。
滿足 \(|A|\neq 0\) 的矩陣 \(A\) 被叫做正則矩陣。滿足 \(|A|=0\) 的矩陣 \(A\) 被叫做奇異矩陣。
\(A\) 爲正則矩陣時，滿足：\(A^{-1}A=AA^{-1}=E\) 。
顯然，單位矩陣的逆矩陣也是一個單位矩陣:
\[E^{-1}E=EE^{-1}=E, E^{-1}=E\]
存在逆矩陣 \((A^{-1})\) 的 \(A\) ，被叫做正則矩陣 (regular matrix, nonsingular matrix)。
不存在逆矩陣的 \(A\)，被叫做奇異矩陣 (singular matrix)。
滿足 \(|A|\neq 0\) 的矩陣 \(A\) 被叫做正則矩陣。滿足 \(|A|=0\) 的矩陣 \(A\) 被叫做奇異矩陣。
\(A\) 爲正則矩陣時，滿足：\(A^{-1}A=AA^{-1}=E\) 。
顯然，單位矩陣的逆矩陣也是一個單位矩陣:
\[E^{-1}E=EE^{-1}=E, E^{-1}=E\]
逆矩陣的性質
對於正則矩陣 \(A, B\) 有以下性質：
- \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
注意此處矩陣 \(A，B\) 的順序對調了。 - \((A^{-1})^{-1}=A\)
- \((A^{t})^{-1}=(A^{-1})^t\)
- \((\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1} (\lambda \ne 0)\)
- 對角矩陣 \(D_n=diag(a_{11},a_{22},\dotsm,a_{nn})\) 的逆矩陣寫作： \(D_n^{-1}=diag(1/a_{11}, 1/a_{22},\dotsm,1/a_{nn})\)；
注意此處的條件爲所有對角成分均非零: \(a_{11}a_{22}\dotsm a_{nn}\neq 0\)
證明
\((AB)(AB)^{-1}=E\)
等式兩邊從左往右乘以 \(A^{-1}\)
\((A^{-1}A)B(AB)^{-1}=A^{-1}E\\ B(AB)^{-1}=A^{-1}\)
等式兩邊從左往右乘以 \(B^{-1}\)
\((B^{-1}B)(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\\ E(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
根據單位矩陣的性質：
\(\therefore (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)\(E=E^{-1}=(A^{-1}A)^{-1}=A^{-1}(A^{-1})^{-1}\)
等式兩邊從左往右乘以 \(A\)
\(AE=AA^{-1}(A^{-1})^{-1}\\ \therefore A=(A^{-1})^{-1}\)\(E=E^t=(A^{-1}A)^t=A^t(A^{-1})^t\)
等式兩邊從左往右乘以 \((A^t)^{-1}\)
\((A^t)^{-1}E=(A^t)^{-1}A^t(A^{-1})^t\\ \therefore (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\)
