「統計解析のための線形代数」復習筆記19
行列式的性質
具體的行列式的值，可以通過以下介紹的行列式性質，儘量簡潔地求解。本節也是爲了簡易示範，僅僅使用3次行列式作例子。4次以上的行列式性質依然相同，依此類推即可。
轉置矩陣的行列式，與轉置前的行列式一致。即：\(|A^t|=|A|\)。
\(|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix}\)任意一列（或者任意一行）若乘以 \(\lambda\) 倍，那麼這個矩陣的行列式結果也將是乘以 \(\lambda\) 倍。
\(|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ \lambda a_{21} &\lambda a_{22} & \lambda a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\\ \;\;\;\;=|A|=\lambda \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\)
\(|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \lambda a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & \lambda a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & \lambda a_{33}\\ \end{vmatrix}\\ \;\;\;\;=|A|=\lambda \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\)任意一列（或者任意一行）的各成分乘以 \(\lambda\) 倍，與其他任意一列（或者任意一行）的各成分進行加運算（或者減運算）獲得的矩陣的行列式與原矩陣的行列式相同。
\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21}\pm \lambda a_{11} & a_{22}\pm \lambda a_{12} & a_{23}\pm \lambda a_{13}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}，\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\pm \lambda a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22}\pm \lambda a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32}\pm \lambda a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix},\)
\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} \pm \frac{a_{11}}{\lambda} & a_{22}\pm \frac{a_{12}}{\lambda} & a_{23}\pm \frac{a_{13}}{\lambda}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}, \\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\pm \frac{a_{11}}{\lambda} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22}\pm \frac{a_{21}}{\lambda} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32}\pm \frac{a_{31}}{\lambda} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\)
上述行列式與行列式 \(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\) 結果相同。符合下列條件時，行列式的值爲 \(0\)
- 任意一行（或者列）的全部成分均爲 \(0\) 時。
- 矩陣中若有兩行（或者兩列）的對應成分全部相同時。
- 矩陣中若有兩行（或者兩列）的對應成分均成一定比例時。
\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 0\\ \end{vmatrix}=0\\ \begin{vmatrix} a & b & c\\ a & b & c\\ d & e & f\\ \end{vmatrix}=0\\ \begin{vmatrix} a & b & c\\ ka & kb & kc\\ d & e & f\\ \end{vmatrix}=0\)
由於上面的後兩條成立，所以當矩陣中任意兩列（或者兩行）的對應成分幾乎相等，或者比值無限接近時，行列式的值也可以說就接近爲 \(0\)。此性質與多重線性迴歸的多重共線性有直接關係。
一個矩陣中其中兩列（或者兩行）的成分交換以後獲得的矩陣，其行列式值爲原矩陣的行列式的值的相反數。（即符號相反）
\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\) （第一行和第二行對調成分）對角矩陣，上三角矩陣，下三角矩陣的行列式的值，等於對角成分的積
\(\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0\\ 0 & a_{22} & 0\\ 0 & 0 & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33},\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33},\\ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}\)矩陣中如果有任意一行（或列），衹有一個成分為非零成分，可以將該矩陣的行列式降次：
\(\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\)
\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & 0\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & 0\\ \end{vmatrix}=a_{23}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\)\(A, B\) 同時都是正方形矩陣時，\(|AB|=|A|·|B|\)。
證明
\(A=\left(\begin{array}{c} 0 & 4 & 2\\ -1 & 3 & 7\\ 6 & 5 & 9\\ \end{array}\right)\)，\(B=\left(\begin{array}{c} 2 & 3 & 4\\ -2 & 7 & 1\\ 4 & 6 & 0\\ \end{array}\right)\) 時， \(|AB|=|A|·|B|\) 成立
解
\(\because AB=\left(\begin{array}{c} 0 & 40 & 4\\ 20 & 60 & -1\\ 38 & 107 & 29\\ \end{array}\right)\)
\(\therefore |AB|=\begin{vmatrix} 0 & 40 & 4\\ 20 & 60 & -1\\ 38 & 107 & 29\\ \end{vmatrix}\)
利用性質3： 第2列 - 第3列 \(\times\) 10 作新的第2列
\(=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 4\\ 20 & 70 & -1\\ 38 & -183 & 29\\ \end{vmatrix}\)
利用性質7： 第一行衹有第三個元素非零，可以降次。
\(=4(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 20 & 70 \\ 38 & -183\end{vmatrix}\)
利用性質2: 第一行所有元素除以10, 將 10 提前。
\(=4\times10\begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 38 & -183\end{vmatrix}\\ =40(-366-266)\\=-25280\)
\(|A|=\begin{vmatrix} 0 & 4 & 2\\ -1 & 3 & 7\\ 6 & 5 & 9\\ \end{vmatrix}\)
利用性質3: 第2列 - 第3列 \(\times\) 2 作爲新的第二列元素
\(=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 2\\ -1 & -11 & 7\\ 6 & -13 & 9\\ \end{vmatrix}\)
利用性質7: 第一行衹有第三個元素非零，降次。
\(=2(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} -1 & -11 \\ 6 & -13\end{vmatrix}\\=2(13+66)=158\)
\(|B|=\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4\\ -2 & 7 & 1\\ 4 & 6 & 0\\ \end{vmatrix}\)
利用性質3: 第1行 \(+\) 第2行作新的第1行； 第3行 - 第1行 \(\times\) 2 作新的第三行
\(=\begin{vmatrix} 0 & 10 & 5\\ -2 & 7 & 1\\ 0 & 0 & -8\\ \end{vmatrix}\)
利用性質7: 第三行衹有第三個元素非零，降次。
\(=-8(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 0 & 10 \\ -2 & 7\end{vmatrix}\\=-8\times20=-160\)
綜上可得
\(|A|·|B|=158\times(-160)=-25280=|AB|\)
試用這一節介紹的行列式性質，求解前一節例(3)的行列式值。
解
\(\begin{vmatrix} -2 & 3 &4 & 1\\ 4 & 2& 0& 5\\ 2 &-3& -4& 2\\ 2 & 1& 2& -3 \end{vmatrix}\)
利用性質3
1. 第1行 \(+\) 第3行，作新的第一行；
2. 第2行 \(-\) 第3行 \(\times\) 2，作新的第2行；
3. 第4行 \(-\) 第3行 作新的第4行
\(=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 8 & 8 & 1\\ 2 & -3 & -4 & 2\\ 0 & 4 & 6 & -5 \end{vmatrix}\)
利用性質7: 第1行衹有第4個元素非零，降次。
\(=3(-1)^{1+4}\begin{vmatrix} 0 & 8 & 8 \\ 2 & -3 & -4 \\ 0 & 4 & 6 \end{vmatrix}\)
利用性質7: 第1列衹有第2個元素非零，降次。
\(=-3 \times 2(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 8 & 8 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}\\ =6 \times (8 \times 6 - 4\times 8)\\ =96\)
