基本再生産数

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# 基本再生産数
## Basic reproduction number <span class="math inline"><em>R</em><sub>0</sub></span>
### 王　超辰
### 公衆衛生学講座
### 2021-07-29（木）基礎医学セミナー

---

# 感染症の感染モデル

.full-width[.content-box-red[.bold[.font160[
- 20人の集団の中で1人が感染者となった。

- 1人が2人に感染させる力があるとする。

- 人の出入りのない、すなわち <br> 出生、死亡がなく、
<br>引っ越しもない集団とする。
]]]]

--
.font160[.bold[
- 最終的には、感染者は何人になるか？
]]

---
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---
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---
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---
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---
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---
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???

次々と感染者は増えていくが、未感染者の数が減るに従って、既感染者が増えることによって、感染者の数は減少に向かう。最終的に未感染者を残して感染流行は終息する。

---
class: 
# 間接予防効果 (herd immunity)

.full-width[.content-box-red[.bold[.font160[
- 次々と感染者は増えていくが

- 未感染者の数が減るに従って

- 既感染者が増えることによって

- 感染者の数は減少に向かう

- 最終的に未感染者を残したまま、感染流行は終息する
]]]]

---
class:

# SIR モデル (1): 集団分類 S, I, R

.full-width[.content-box-red[.bold[.font160[
- 人口は3つの集団に分類される：
  - `$S$`: Susceptible 未感染者数 <br> 感染する可能性がある集団

- `$I$`: Infectious 感染者数 <br> 症状あり、伝染しうる期間である集団

- `$R$`: Recover 回復者数 <br> 感染後回復し免疫状態がある集団

]]]]

???
- この三つの集団の人数は常に、時間と共に変化していく。

---
class:

# SIR モデル (2): パラメーターと SIR モデル

.full-width[.content-box-red[.bold[.font150[
- `$\beta$`: 感染確率 <br>（1人の感染者が1人に1日でうつす確率）
- `$\gamma$`: 回復率 <br>（1日で5人に1人回復するなら `$\gamma = 0.2$`）
]]]]

--
.font150[
$$
`\begin{aligned}
\frac{d S(t)}{dt} & = -\beta S(t) I(t) & \text{未感染者数の変化}\\ 
\color{red}{\frac{d I(t)}{dt}} & \color{red}{= \beta S(t) I(t) - \gamma I(t)} & \color{red}{\text{感染者数の変化}}\\
\frac{d R(t)}{dt} & = \gamma I(t)　& \text{回復者数の変化}
\end{aligned}`
$$
]

???

- 各集団の人数の時間的な変化は微分方程式で表すことが可能
- 真ん中の式を注目して、式の変形を考えて行きます

---
class:

# SIR モデル (3): 感染者数変化式の変形

.font150[.bold[
- 感染が始まったばかりの時は（初期状態）<br> `$S(t) = S_0$` として置き換える
]]

.full-width[.content-box-red[.bold[.font150[
$$
`\begin{aligned}
\frac{d I(t)}{dt} & = \beta \color{red}{S(t)} I(t) - \gamma I(t) \\
\frac{d I(t)}{dt} & = \beta \color{red}{S_0} I(t) - \gamma I(t) \\ 
\frac{d I(t)}{dt} & = (\beta S_0 - \gamma)\color{darkgreen}{I(t)} \\
\Rightarrow I(t) & = I_0 e^{(\beta S_0 - \gamma)t}
\end{aligned}`
$$
]]]]

???

- 最後の矢印の式は、時間微分式が微分される前の式に戻る状態の数式

---
class:

# 基本再生産数 `$\mathfrak{R}_0$`

.font160[.bold[
$$
I(t) = I_0 e^{(\beta S_0 - \gamma)t} =  I_0 e^{(\color{red}{\frac{\beta S_0}{\gamma}} - 1)\gamma t}
$$
]]

--
.full-width[.content-box-red[.bold[.font150[
$$
\color{red}{\mathfrak{R}_0 = {\frac{\beta S_0}{\gamma}}}
$$
- `$\mathfrak{R}_0$` は**基本再生産数**と呼ぶ。 
- `$\mathfrak{R}_0$` は1人の感染者が何人の未感染者に感染させる期待値
]]]]

--
.font150[
`$$\mathfrak{R}_0 \left \{ \begin{array}{ll} > 1 \text{ 感染が拡大する } \\ 
< 1 \text{ 感染が自然に終息する }  \\ \end{array} \right.$$`
]

???

- `$\beta$` 感染確率を下げるには、手洗い、食事、マスク、3密を避けることが必要
- `$\gamma$` 回復率を上げると、$R_0$ も小さくなる。

---
class:

# 例: 1000人の集団に新興感染症1人が侵入

.bold[.font100[
- 感染確率： `$\beta = 0.00015 \times 12 = 0.0018$` 
    - 一度の接触で感染する確率が `$0.00015$` と仮定する
    - 1人が1日平均他人と `$12$` 回接触があると仮定する
- 回復率: 1日で1人が回復すると仮定する `$\gamma = 1$`
]]

--
.bold[.font100[
- 1日目の未感染者数の変化 <br> `$\frac{d S(t=1)}{dt}  = -\beta S_0 I(t = 1) = 0.0018 \times 1000 \times 1 = -1.8$`
]]

--
.bold[.font100[
- 1日目の感染者数の変化 <br> `$\frac{d I(t=1)}{dt} = \beta S_0 I(t = 1) - \gamma I(t = 1) = 1.8 - 1 \times 1 = 0.8$`
]]

--
.bold[.font100[
- 1日目の既感染者数の変化 <br> `$\frac{d R(t = 1)}{dt} = \gamma I(t = 1) = 1$`
]]

--
.font100[
$$
`\begin{aligned}
\mathfrak{R}_0 = {\frac{\beta S(t = 1)}{\gamma}} = \frac{0.0018 \times 1000}{1} = 1.8 & \;
\text{(Day 1)}
\end{aligned}`
$$
]

---
class:

# 例: シミュレーション計算 (1)

.bold[.font100[
- 2日目の未感染者数の変化

$$
`\begin{aligned}
  \frac{d S(t=2)}{dt} & = -\beta (S_0 - \frac{d S(t=1)}{dt}) I(t = 2) \\
                      & = - 0.0018 \times (1000 - 1.8) \times 1.8 = -3.234 
\end{aligned}`
$$
]]

--
.bold[.font100[
- 2日目の感染者数の変化

$$
`\begin{aligned}
\frac{d I(t=2)}{dt} &= \beta S(t = 1) I(t = 2) - \gamma I(t = 2) \\ &= 0.0018\times (1000-1.8) \times 1- 1 \times 1.8 = 1.434
\end{aligned}`
$$
]]

--
.bold[.font100[
- 2日目の既感染者数の変化

$$
`\begin{aligned}
\frac{d R(t=2)}{dt} & = \gamma I(t = 2) \\ & = 1 \times 1.8 = 1.8
\end{aligned}`
$$
]]

--
.font100[
$$
`\begin{aligned}
\mathfrak{R}_0 = {\frac{\beta S(t = 2)}{\gamma}} = \frac{0.0018 \times (1000 - 1.8)}{1} = 1.796 & \;
\text{(Day 2)}
\end{aligned}`
$$
]

---
class: 
# 例: シミュレーション計算 (2)

.bold[
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]

---
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---
class: 
# 集団免疫

.full-width[.content-box-red[.bold[.font160[
例のシミュレーションによれば、結局全員が罹患することなく、約200人が感染症にかからずに流行が終息した。最後に残った200人は、800人の免疫獲得者によって、感染患者からブロックされた形となる。

- 未感染者の減少と既感染者が増加するため、感染者と未感染者の接触する機会が減る<br>**病原性が弱まるからではない。**

- これを集団免疫 (herd immunity)と呼ぶ。
]]]]

---
class:

# 基本再生産数を減らすには

.full-width[.content-box-red[.bold[.font160[

$$
\color{red}{\mathfrak{R}_0 = {\frac{\beta S_0}{\gamma}}}
$$

- ワクチンを導入すれば、未感染者 `$(S)$` が減る

- 積極的に検査と感染者を治療することによって、回復率 `$(\gamma)$` を上げる

- 手洗い、運動、マスク着用、3密を避けることによって、感染確率 `$(\beta)$` が減る 
]]]]

---
class: 
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# 代表的な感染症の `$\mathfrak{R}_0$` 値

---
class: 
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# 代表的な感染症の `$\mathfrak{R}_0$` 値

???

- これまでにR0値がわかった典型的な感染症
- C型肝炎ウイルス

---
class: 
background-image: url("./fig/09.png")
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# 代表的な感染症の `$\mathfrak{R}_0$` 値

???

- SARS, HIV
- 天然痘、風疹が 7

---
class: 
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# 代表的な感染症の `$\mathfrak{R}_0$` 値
???

- 水痘・帯状疱疹ウイルス（すいとう・たいじょうほうしんウイルス、Varicella Zoster virus）
- 流行性耳下腺炎（りゅうこうせいじかせんえん、英: Mumps）10前後
- 一番高いのは 麻疹「ましん」、はしか　
- その感染力は極めて強く、同じ空間に患者と居るだけで感染してしまい、マスクや手洗いなどの対策でも完全には防げない

---
class: 
background-image: url("./fig/11.png")
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# 代表的な感染症の `$\mathfrak{R}_0$` 値

???

- R0値が１から３範囲にある有名な感染症は MERS の 0.75

---
class: 
background-image: url("./fig/12.png")
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# 代表的な感染症の `$\mathfrak{R}_0$` 値

???

- そして2009年流行のH1N1、ブタインフルエンザは 1.5前後

---
class: 
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# 代表的な感染症の `$\mathfrak{R}_0$` 値

???

- 有名なスペイン風邪は 2.2

---
class: 
background-image: url("./fig/14.png")
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# 代表的な感染症の `$\mathfrak{R}_0$` 値

???

- 有名なスペイン風邪は 2.2 
- 5億人ぐらいを感染し、死者5千万近くと言われている。

---
class: 
background-image: url("./fig/15.png")
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# 代表的な感染症の `$\mathfrak{R}_0$` 値

???
- 毎年流行するインフルエンザの範囲は0.9-2.1ぐらいで、
- 新型コロナは、2-3ぐらいもしくはもっと高い数字の推測もあるかもしれません。

---
class:

# チャレンジ

.bold[.font160[
- 真の `$\mathfrak{R}_0$` 値はパンデミック収束するまで誰も知らない
]]

--
.bold[.font160[
- ある感染症の `$\mathfrak{R}_0$` は平均値であり、毎日変動し、スーパースプレッダー (super spreader) コロナの場合は無症状者の存在も感染症コントロール・感染症疫学上での大きな懸念材料となる
]]

--
.bold[.font160[
- 検査/報告の遅れなど人的原因も `$\mathfrak{R}_0$` の値、感染症コントロールに大きな影響を与える
]]

---
class: center, inverse, clear, middle

# Link to these slides: <br> [https://wangcc.me/R0](https://wangcc.me/R0/#1)