第 74 章 Cox 比例風險模型

\[ h(t|x) = h_0(t)e^{\beta^Tx} \]

其中,\(h_0(t)\) 是被比較的基線組成員(baseline individual)的風險度 (hazard),在 Weibull 模型或者指數模型中,這個基線風險 (baseline hazard) 是需要被模型根據數據來進行參數估計的 (parameterized)。但是,1972年,神一樣的人物 Cox (Cox 1972) 提出,其實我們不需要對這個基線風險進行“無謂”的估計,可以無視它在模型中的存在。正因為如此,這個模型被冠以發明者的名字 Cox proportional hazards model。因為此模型不對基線風險進行任何估計,但是對預測變量對於風險的效果 (effect of the explanatory variable) 用模型中的 \(\beta\) 進行參數估計,所以,它又是一種典型的半參數化模型 (semi-parametric model)。

Cox 比例風險模型下的似然:

\[ L= \prod_{i=1}^n\{ h_0(t)e^{\beta^Tx_i}\exp(-\int_0^{t_i} h_0(u)e^{\beta^Tx_i}du) \}^{\delta_i}\{ \exp(-\int_0^{t_i} h_0(u)e^{\beta^Tx_i}du) \}^{1-\delta_i} \]

是無法估計的,此時要用到偏似然 (partial likelihood),

思考這樣一個問題,在一組用 \(R_j\) 標記的患者集合中,當我們已知它們同時都存活到了時間點 \(t_j\),且沒有發生刪失,那麼這組患者中的某個 \(i_j\),他/她有一個解釋變量 \(x_i\),他在這個時間點恰好發生事件的條件概率該怎麼計算:

\[ \frac{h_0(t_j)\exp(\beta^Tx_{i_j})}{\sum_{k\in R_j}h_0(t_j)\exp(\beta^Tx_k)} = \frac{\exp(\beta^Tx_{i_j})}{\sum_{k\in R_j}\exp(\beta^Tx_k)} \]

是的,你沒有看錯,基線風險被完美的消除掉了,這就是它不需要被參數估計的原因。此時,我們用偏似然來計算這樣的模型似然:

\[ L_p = \prod_j \frac{\exp(\beta^Tx_{i_j})}{\sum_{k\in R_j}\exp(\beta^Tx_k)} \]

模型的假設:

\[ h(t|x) = h_0(t)e^{\beta^Tx} \]

  1. Proportional hazards assumption - explanatory variables act multiplicatively on the hazard and their effect on the hazard does not change over time;
  2. We have correctly specified the form for how continuous explanatory variables act on the hazard;
  3. We have included all relevant explanatory variables including possbile interactions;
  4. Uninformative censoring;
  5. Individuals are independent.

74.1 該用半參數模型還是用全參數模型

  • 如果說指數模型或者 Weibull 模型是合理的,通常此時用 Cox 半參數模型也是合理的;
  • 如果指數模型或者 Weibull 模型都是合理的,那麼 Cox 半參數模型給出的估計,其實不會和指數模型或者 Weibull 模型相差甚遠。指數模型或者 Weibull 模型可能給出的估計會相對更精確 (更小的標準誤),但是實際應用中這種更加精確的程度其實十分有限;
  • 另外,使用指數模型或者 Weibull 模型,重要的基線風險是否被模型擬合正確將會是關鍵 (baseline hazard mis-specified?),但是使用 Cox 模型,就可以避免這個假設,忽略掉基線風險;
  • 2002 年,(Royston and Parmar 2002) 提出第三種生存數據模型,“flexible parametric survival models”,結合了參數和半參數模型的長處,正在變得流行起來。在這個新型靈活參數生存模型中,使用了三次方程平滑曲線 (cubic splines modelled smoothly) 擬合對數基線累積風險 (log cumulative baseline hazard)。

References

Cox, David R. 1972. “Models and Life-Tables Regression.” JR Stat. Soc. Ser. B 34: 187–220.

Royston, Patrick, and Mahesh KB Parmar. 2002. “Flexible Parametric Proportional-Hazards and Proportional-Odds Models for Censored Survival Data, with Application to Prognostic Modelling and Estimation of Treatment Effects.” Statistics in Medicine 21 (15): 2175–97.